Question

13．设a，b为整数，把形如a+b$\sqrt{5}$的一切数构成的集合记作M，即M={a+b$\sqrt{5}$|a∈Z，b∈Z），设x∈M，y∈M，试判断x+y，x-y，xy，$\frac{x}{y}$是否属于M．

Answer 1

分析 不妨设x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂为整数），从而可得x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$∈M，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．举反例可知$\frac{x}{y}$不一定在集合M中．

解答 解：∵x∈M，y∈M，
∴不妨设x=a₁+b₁$\sqrt{5}$，y=a₂+b₂$\sqrt{5}$，（a₁，b₁，a₂，b₂为整数），
∴x+y=（a₁+a₂）+（b₁+b₂）$\sqrt{5}$，
又∵a₁+a₂，b₁+b₂为整数，
∴x+y∈M，
同理，x-y=（a₁-a₂）+（b₁-b₂）$\sqrt{5}$∈M，
xy=（a₁a₂+5b₁b₂）+（a₁b₂+b₁a₂）$\sqrt{5}$∈M．
当x=1，y=$\sqrt{5}$-1时，$\frac{x}{y}$∉M；
故x+y，x-y，xy∈M，$\frac{x}{y}$不一定在集合M中．

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于基础题．