题目内容
【题目】设函数f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣
),其中0<ω<3,已知f(
)=0.(12分)
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣
,
]上的最小值.
【答案】解:(Ⅰ)函数f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣
)
=sinωxcos ﹣cosωxsin
﹣sin(
﹣ωx)
= sinωx﹣
cosωx
= sin(ωx﹣
),
又f( )=
sin(
ω﹣
)=0,
∴ ω﹣
=kπ,k∈Z,
解得ω=6k+2,
又0<ω<3,
∴ω=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)= sin(2x﹣
),
将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y= sin(x﹣
)的图象;
再将得到的图象向左平移 个单位,得到y=
sin(x+
﹣
)的图象,
∴函数y=g(x)= sin(x﹣
);
当x∈[﹣ ,
]时,x﹣
∈[﹣
,
],
∴sin(x﹣ )∈[﹣
,1],
∴当x=﹣ 时,g(x)取得最小值是﹣
×
=﹣
.
【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化函数f(x)为正弦型函数,根据f( )=0求出ω的值;
(Ⅱ)写出f(x)解析式,利用平移法则写出g(x)的解析式,求出x∈[﹣ ,
]时g(x)的最小值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识,掌握两角和与差的正弦公式:,以及对函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的理解,了解图象上所有点向左(右)平移
个单位长度,得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数
的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的
倍(横坐标不变),得到函数
的图象.
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