题目内容
【题目】如图,四边形是边长为2的正方形,
为
的中点,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)先由线面垂直的判定定理得到平面
,进而可得平面
平面
;
(2)先取中点
,连结
,
,证明平面
平面
,在平面
内作
于
点,则
平面
. 以
点为原点,
为
轴,
为
轴,如图建立空间直角坐标系.分别求出两平面的法向量,求向量夹角余弦值,即可求出结果.
(1)因为四边形是正方形,所以折起后
,且
,
因为,所以
是正三角形,所以
.
又因为正方形中,
为
的中点,所以
,所以
,
所以,所以
,又因为
,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)取中点
,连结
,
,则
,
,
又,则
平面
.又
平面
,所以平面
平面
.
在平面内作
于
点,则
平面
.
以点为原点,
为
轴,
为
轴,如图建立空间直角坐标系.
在中,
,
,
.
∴,
,故
,
,
,
∴,
.
设平面的一个法向量为
,则由
,得
,令
,得
,
,
∴.
因为平面的法向量为
,
则,
又二面角为锐二面角,∴二面角
的余弦值为
.
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