题目内容
【题目】如图,已知四棱锥,底面
为菱形,
,
,
平面
,
分别是
的中点。
(1)证明:;
(2)若为
上的动点,
与平面
所成最大角的正切值为
,求二面角
的余弦值。
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)证明,利用
平面
即可证得
,问题得证。
(2)过点作
于点
,过点
作
于点
,连接
.当
与
垂直时,
与平面
所成最大角,利用该最大角的正切值为
即可求得
,证明
就是二面角
的一个平面角,解
即可。
(1)因为底面为菱形,
所以为等边三角形,又
为
中点
所以,又
所以
因为平面
,
平面
所以,又
所以平面
(2)过点作
于点
,过点
作
于点
,连接
当与
垂直时,
与平面
所成最大角.
由(1)得,此时.所以
就是
与平面
所成的角.
在中,由题意可得:
,又
所以.
设,在
中由等面积法得:
解得:,所以
因为平面
,
平面
所以平面平面
,
又平面平面
,
,
平面
所以平面
,又
平面
所以,又
,
所以平面
,
所以
所以就是二面角
的一个平面角
因为为
的中点,且
所以,又
所以
在中,求得:
,
,
由可得:
,即:
,解得:
所以
所以
所以二面角的余弦值为
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