题目内容

【题目】设函数f(x)=-x3x2(m21)x(xR)其中m>0.

(1)m1求曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线斜率;

(2)求函数的单调区间与极值.

【答案】1)曲线yf(x)在点(1f(1))处的切线斜率为1

2f(x)(1m)(1m,+∞)内为减函数最大值为f(1m)m3m2;最小值为f(1m)=-m3m2

【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义先求切线斜率f′(1),(2)先求导函数零点x=1-m或x=1+m.再列表分析导函数符号变化规律,确定单调区间及极值.

试题解析:(1)当m=1时,f(x)=- x3x2

f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1.

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为1.

(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1.

令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.

因为m>0,所以1+m>1-m.

当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)内是减函数,在(1-m,1+m)内是增函数.

函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m),且f(1-m)=- m3+m2.

函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m),且f(1+m)=m3+m2.

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