Question

9．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，a₁₀₀=a₉₆，则a₁₁+a₁₂=$\frac{3}{26}±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 通过a₁=1、a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$计算可知a₁₁=$\frac{8}{13}$，利用a₉₆=a₁₀₀=$\frac{1}{{a}_{98}+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{96}}+1}$计算可知a₉₆=$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$，通过$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{1}{\frac{±\sqrt{5}-1}{2}+1}$可知a_2n=$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵a₁=1，a_n+2=$\frac{1}{{{a_n}+1}}$，
∴${a}_{3}=\frac{1}{{a}_{1}+1}$=$\frac{1}{2}$，
${a}_{5}=\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
${a}_{7}=\frac{1}{{a}_{5}+1}$=$\frac{1}{\frac{2}{3}+1}$=$\frac{3}{5}$，
${a}_{9}=\frac{1}{{a}_{7}+1}$=$\frac{1}{\frac{3}{5}+1}$=$\frac{5}{8}$，
${a}_{11}=\frac{1}{{a}_{9}+1}$=$\frac{1}{\frac{5}{8}+1}$=$\frac{8}{13}$，
∵a₁₀₀=a₉₆，
∴a₁₀₀=a₉₆=$\frac{1}{{a}_{98}+1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{96}}+1}$，
整理得：${{a}_{96}}^{2}$+a₉₆-1=0，
解得：a₉₆=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或a₉₆=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∵$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1}$，$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{2}{-\sqrt{5}+1}$=$\frac{1}{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1}$，
∴a_2n=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或a_2n=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，即a_2n=$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$，
∴a₁₂=$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$，
∴a₁₁+a₁₂=$\frac{8}{13}$+$\frac{±\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{3}{26}±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
故答案为：$\frac{3}{26}±\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题主要考查数列递推公式的应用，根据递推公式分别求出a₁₁、a₁₂的值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，注意解题方法的积累，属于难题．