题目内容
17.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题:①f(x)是偶函数;
②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;
④f(x)有最小值|a2-b|;
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则a2=b+3.
其中正确命题的序号是③⑤.(把你认为正确的都写上)
分析 分别讨论参数a,b的取值情况,结合二次函数的图象和性质进行判断即可.
①利用奇偶性的定义可以判断,当a≠0时,f(x)必非奇非偶函数.
②由f(0)=f(2)得到a,b的关系,然后根据a,b的关系通过配方得到对称轴.
③当a2-b≤0时,此时x2-2ax+b=(x-a)2+b-a2≥0,此时可以去掉绝对值,利用二次函数的性质判断.
由④可以知道当a2-b≤0时,二次函数开口向上有最小值.
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3,即可得出结论.
解答 解:①当a=0时,函数f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)必非奇非偶函数,所以错误.
②若f(0)=f(2),则|b|=|4-4a+b|,所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b,即a=1或b=2a-2.当a=1时,f(x)的对称轴为x=1.当b=2a-2时,f(x)=|x2-2ax+2a-2|=|(x-a)2-2-a2|,此时对称轴为x=a,所以错误.
③若a2-b≤0,则f(x)=|x2-2ax+b|=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2,所以此时函数区间[a,+∞)上是增函数,所以正确.
④由③知,当a2-b≤0,函数f(x)有最小值|a2-b|=a2-b,所以错误.
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3,∴a2=b+3,正确.
故答案为:③⑤
点评 本题主要考查函数的图象和性质,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键.考查学生的综合应用.
练习册系列答案
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A. | 充分不必要条件 | B. | 必要不充分条件 | ||
C. | 充要条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |
6.若函数f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,则f(0)=( )
A. | 0 | B. | 1 | C. | -1 | D. | 不能确定 |
7.某农贸市场新上市“绿色蔬菜”,现对其日销售量进行统计,统计结果如下表格.
(1)求m,n的值;
(2)若将表格中的频率看作概率,且每天的销售量互不影响.
①求4天中该“绿色蔬菜”恰好有2天的销售量为2吨的概率;
②已知每吨该“绿色蔬菜”的销售利润为2千元,若ξ表示该“绿色蔬菜”两天销售利润的和(单位:千元),求ξ的分布列和期望.
日销售量(吨) | 1 | 2 | 3 |
频数 | 10 | 25 | 15 |
频率 | 0.2 | m | n |
(2)若将表格中的频率看作概率,且每天的销售量互不影响.
①求4天中该“绿色蔬菜”恰好有2天的销售量为2吨的概率;
②已知每吨该“绿色蔬菜”的销售利润为2千元,若ξ表示该“绿色蔬菜”两天销售利润的和(单位:千元),求ξ的分布列和期望.