题目内容

17.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题:
①f(x)是偶函数;
②当f(0)=f(2)时,f(x)的图象关于直线x=1对称;
③若a2-b≤0,则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;
④f(x)有最小值|a2-b|;
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则a2=b+3.
其中正确命题的序号是③⑤.(把你认为正确的都写上)

分析 分别讨论参数a,b的取值情况,结合二次函数的图象和性质进行判断即可.
①利用奇偶性的定义可以判断,当a≠0时,f(x)必非奇非偶函数.
②由f(0)=f(2)得到a,b的关系,然后根据a,b的关系通过配方得到对称轴.
③当a2-b≤0时,此时x2-2ax+b=(x-a)2+b-a2≥0,此时可以去掉绝对值,利用二次函数的性质判断.
由④可以知道当a2-b≤0时,二次函数开口向上有最小值.
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3,即可得出结论.

解答 解:①当a=0时,函数f(x)是偶函数,当a≠0时,f(x)必非奇非偶函数,所以错误.
②若f(0)=f(2),则|b|=|4-4a+b|,所以4-4a+b=b或4-4a+b=-b,即a=1或b=2a-2.当a=1时,f(x)的对称轴为x=1.当b=2a-2时,f(x)=|x2-2ax+2a-2|=|(x-a)2-2-a2|,此时对称轴为x=a,所以错误.
③若a2-b≤0,则f(x)=|x2-2ax+b|=|(x-a)2+b-a2|=(x-a)2+b-a2,所以此时函数区间[a,+∞)上是增函数,所以正确.
④由③知,当a2-b≤0,函数f(x)有最小值|a2-b|=a2-b,所以错误.
⑤若方程f(x)=3恰有3个不相等的实数根,则$\frac{4b-4{a}^{2}}{4}$=3,∴a2=b+3,正确.
故答案为:③⑤

点评 本题主要考查函数的图象和性质,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键.考查学生的综合应用.

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