Question

18．已知实数a，b满足如下两个条件：（1）关于x的方程3x²-2x-ab=0有两个异号的实根；（2）$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，若对于上述的一切实数a，b，不等式a+2b＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-4，2）
• B． （-2，4）
• C． （-∞，-4]∪[2，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 由题意得到a＞0，b＞0，结合$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1求得a+2b的最小值，代入a+2b＞m²+2m转化为关于m的不等式得答案．

解答 解：设方程3x²-2x-ab=0的两个异号的实根分别为x₁，x₂，
则${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{ab}{3}＜0$，∴ab≥0．
又$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1，∴a＞0，b＞0，
则a+2b=（a+2b）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）=4+$\frac{a}{b}+\frac{4b}{a}$$≥4+2\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{4b}{a}}=8$（当且仅当a=4，b=2时取“=”），
由不等式a+2b＞m²+2m恒成立，得m²+2m＜8，解得：-4＜m＜2．
∴实数m的取值范围是（-4，2）．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了方程根的个数的判断，训练了基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查不等式的解法，是中档题．