若a.b是正常数.a≠b.x.y∈.则$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$≥$\frac{{(a+b)}^{2}}{x+y}$.当且仅当$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$时上式取等号．利用以上结论.可以得到函数f(x)=$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$的最小值为17+12$\sqrt{2}$� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

12．若a、b是正常数，a≠b，x、y∈（0，+∞），则$\frac{{a}^{2}}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{y}$≥$\frac{{（a+b）}^{2}}{x+y}$，当且仅当$\frac{a}{x}$=$\frac{b}{y}$时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f（x）=$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$（x∈（0，$\frac{1}{2}$））的最小值为17+12$\sqrt{2}$．

分析将f（x）变形为$\frac{{2}^{2}}{x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$，运用结论，即可得到最小值，注意等号成立的条件．

解答解：由题意知，f（x）=$\frac{4}{x}$+$\frac{9}{1-2x}$=$\frac{{2}^{2}}{x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$，（0＜x＜$\frac{1}{2}$），
∵2≠3且均为正常数，
∴1-2x∈（0，1），
∴$\frac{{2}^{2}}{x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}}{2x}$+$\frac{{3}^{2}}{1-2x}$≥$\frac{（2\sqrt{2}+3）^{2}}{2x+1-2x}$=17+12$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{2\sqrt{2}}{2x}$=$\frac{3}{1-2x}$时，即x=3$\sqrt{2}$-4时等号成立，
即f（x）≥17+12$\sqrt{2}$．
答案：17+12$\sqrt{2}$．

点评本题考查函数的最小值的求法，注意运用结论，使得x+y为定值，考查运算能力，属于中档题和易错题．

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