题目内容
7.双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过焦点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是( )A. | [$\sqrt{3}$,+∞) | B. | (1,$\sqrt{3}$] | C. | [2,+∞) | D. | (1,2] |
分析 若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.
解答 解:已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F,
若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率$\frac{b}{a}$,
∴$\frac{b}{a}$≥$\sqrt{3}$,
即有e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥4,
∴e≥2,
故选C.
点评 本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.

练习册系列答案
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18.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,且AC=12,BD=9,则此梯形的中位线长是( )
A. | 10 | B. | $\frac{21}{2}$ | C. | $\frac{15}{2}$ | D. | 12 |