题目内容

7.双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过焦点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线右支有且只有一个交点,则双曲线的离心率的取值范围是(  )
A.[$\sqrt{3}$,+∞)B.(1,$\sqrt{3}$]C.[2,+∞)D.(1,2]

分析 若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.

解答 解:已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为F,
若过点F且斜率为$\sqrt{3}$的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率$\frac{b}{a}$,
∴$\frac{b}{a}$≥$\sqrt{3}$,
即有e2=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$≥4,
∴e≥2,
故选C.

点评 本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.

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