Question

3．已知正项数列{a_n}和{b_n}中，a₁=a（0＜a＜1），b₁=1-a．当n≥2时，a_n=a_n-1b_n，b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1-{{a}_{n-1}}^{2}}$．
（1）证明：对任意n∈N^*，有a_n+b_n=1；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法证明即可；
（2）通过（1）及a_n+1=a_nb_n+1、b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1-{{a}_{n-1}}^{2}}$化简、整理可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列，进而计算可得结论．

解答 证明：（1）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，a₁+b₁=a+（1-a）=1，命题成立；
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时命题成立，即a_k+b_k=1，
则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=（a_k+1）•b_k+1
=（a_k+1）•$\frac{{b}_{k}}{1-{{a}_{k}}^{2}}$
=$\frac{{b}_{k}}{1-{a}_{k}}$
=$\frac{{b}_{k}}{{b}_{k}}$
=1，
∴当n=k+1时，命题也成立；
综上所述，a_n+b_n=1对n∈N^*恒成立；
（2）解：∵a_n+1=a_nb_n+1=$\frac{{a}_{n}{b}_{n}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}（1-{a}_{n}）}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{{a}_{n}}{1+{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+1，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=1．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列，其首项为$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{a}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+（n-1）×1，
从而数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{a}{1+（n-1）•a}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法的证明方法，注意解题方法的积累，属于中档题．