Question

【题目】已知点A（2sinx，﹣cosx）、B（ cosx，2cosx），记f（x）= ．
（1）若x0是函数y=f（x）﹣1的零点，求tanx0的值；
（2）求f（x）在区间[ ， ]上的最值及对应的x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= =（2sinx，﹣cosx）（ cosx，2cosx）=2 sinxcosx﹣2cos2x= sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣ ）﹣1，

若x0是函数y=f（x）﹣1的零点，

则f（x0）﹣1=2sin（2x0﹣ ）﹣1﹣1=0，即sin（2x0﹣ ）=1，

故2x0﹣ =2kπ+ ，则x0=kπ+ ，k∈Z，

则tanx0=tan（kπ+ ）=tan = ．

（2）解：当x∈[ ， ]时，2x﹣ ∈[ ， ]，

当2x﹣ = 或 时，即x= 或x= ，函数f（x）取得最小值，此时f（x）=2sin ﹣1=2× ﹣1=1﹣1=0，

当2x﹣ = 时，即x= ，函数f（x）取得最大值，此时f（x）=2sin ﹣1=2﹣1=1．

【解析】（1）根据向量数量积的坐标公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简，解方程求出x0的值即可．（2）求出2x﹣ 的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．