题目内容
【题目】若存在常数,使得对定义域
内的任意
,都有
成立,则称函数
在其定义域
上是“
利普希兹条件函数”.
(1)若函数是“
利普希兹条件函数”,求常数
的最小值;
(2)判断函数是否是“
利普希兹条件函数”,若是,请证明,若不是,请说明理由;
(3)若是周期为2的“
利普希兹条件函数”,证明:对任意的实数
,都有
.
【答案】(1) ;(2)不是,理由见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)不妨设,则
恒成立.
,从而可得结果;(2)令
,则
,从而可得函数
不是“
利普希兹条件函数”; (3)设
的最大值为
,最小值为
,在一个周期
,内
,利用基本不等式的性质可证明
.
试题解析:(1)若函数f(x)=,(1≤x≤4)是“k﹣利普希兹条件函数”,则对于定义域[1,4]上任意两个x1,x2(x1≠x2),均有|f(x1)﹣f(x2)|≤k|x1﹣x2|成立,
不妨设x1>x2,则k≥=
恒成立.
∵1≤x2<x1≤4,∴<
<
,
∴k的最小值为 .
(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞),
令x1=,x2=
,则f(
)﹣f(
)=log2
﹣log2
=﹣1﹣(﹣2)=1,
而2|x1﹣x2|=,∴f(x1)﹣f(x2)>2|x1﹣x2|,
∴函数f(x)=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”.
(3)设f(x)的最大值为M,最小值为m,在一个周期[0,2]内f(a)=M,f(b)=m,
则|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b)≤|a﹣b|.
若|a﹣b|≤1,显然有|f(x1)﹣f(x2)|≤|a﹣b|≤1.
若|a﹣b|>1,不妨设a>b,则0<b+2﹣a<1,
∴|f(x1)﹣f(x2)|≤M﹣m=f(a)﹣f(b+2)≤|a﹣b﹣2|<1.
综上,|f(x1)﹣f(x2)|≤1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度(单位:cm)的情况如表1:
900 | 700 | 300 | 100 | |
0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
该省某市2017年11月份AQI指数频数分布如表2:
频数(天) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
<>(1)设
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/11/03/10/4e355521/SYS201811031003148779466570_ST/SYS201811031003148779466570_ST.008.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/11/03/10/4e355521/SYS201811031003148779466570_ST/SYS201811031003148779466570_ST.009.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/11/03/10/4e355521/SYS201811031003148779466570_ST/SYS201811031003148779466570_ST.001.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/11/03/10/4e355521/SYS201811031003148779466570_ST/SYS201811031003148779466570_ST.001.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/11/03/10/4e355521/SYS201811031003148779466570_ST/SYS201811031003148779466570_ST.009.png)
(2)小李在该市开了一家洗车店,洗车店每天的平均收入与AQI指数存在相关关系如表3:
日均收入(元) | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
根据表3估计小李的洗车店2017年11月份每天的平均收入.
附参考公式:,其中
,
.