Question

在R上定义运算（b、c为实常数）。记，，。令。
（Ⅰ）如果函数在处有极值，试确定b、c的值；
（Ⅱ）求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（Ⅲ）记的最大值为，若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。

Answer 1

（Ⅰ），
（Ⅱ），或，
（Ⅲ）

由R上运算的定义及函数的表达式，
可得∴。
（Ⅰ）∵函数在处有极值，∴，
得，
从而解得，或，
但当，时，
，恒成立，
从而当，时，单调递减，故不是极值点而是拐点。
所以，要舍去。
当，时，则。当变化时，、的变化情况如下表：

				1
	﹣		﹢		﹣
	↘	极小值	↗	极大值	↘

∴当x=1时，在有极大值。因此，。
（Ⅱ）设x₀是曲线上的斜率为c的切线与曲线的切点，则
，得x₀=0或x₀=2b，当x₀=0时；
当x₀=2b时，故切线的方程为
或，联立
得或
联立得，，
解得或
综上所述，曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点为，
或，。
（Ⅲ）记，（），
（），
的对称轴为
（1）当时，，对称轴：x=b在区间外面，从而在
上的最大值在区间端点处取得。
记g（1），g（-1）中的最大者为，则，
所以，而，故当
时M＞2。
（2）当时，，区间跨越对称轴：x=b，
从而此时，
因为，所以，
。
①当时，，所以，因此


②当时，，所以，因此

综上所述，对，都有成立。
故对任意的b、c恒成立的的最大值为。