Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，离心率为，设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为MN，当l⊥x轴时，|MN|＝3．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）在x轴上是否存在一点P，使得当l变化时，总有PM与PN所在的直线关于x轴对称？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，P（4，0）．

【解析】

（1）由，即可求解；（2）转化为并结合韦达定理即可求解．

（1）由题意得：，，a2＝b2+c2，解得：a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的标准方程：；

（2）假设存在P（t，0），设直线l的方程：x＝my+1设M（x，y），N（x'，y'），联立与椭圆的方程整理得：（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，y+y'，yy'，

由题意得：kPM+kPN＝0，而kPM，kPN，

∴0，∴2myy'+（1﹣t）（y+y'）＝0，即6m（4﹣t）＝0，m≠0，所以t＝4，

即存在定点P（4，0），满足题中条件．