题目内容
【题目】为解决城市的拥堵问题,某城市准备对现有的一条穿城公路进行分流,已知穿城公路
自西向东到达城市中心
后转向
方向,已知
,现准备修建一条城市高架道路
,
在
上设一出入口
,在
上设一出口
,假设高架道路
在
部分为直线段,且要求市中心
与
的距离为
.
(1)若,求两站点
之间的距离;
(2)公路段上距离市中心
处有一古建筑群
,为保护古建筑群,设立一个以
为圆心,
为半径的圆形保护区.因考虑未来道路
的扩建,则如何在古建筑群和市中心
之间设计出入口
,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区?
【答案】(1);(2)设计出入口
离市中心
的距离在
到
之间时,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.
【解析】
(1)过作直线
于
,则
,设
,
则,(
),可得
,
,可求
,又
,结合
,可得
,即可求解两出入口之间距离的最小值.
(2)设切点为,以
为坐标原点,以
所在的直线为
轴,建立平面直角坐标系
,设直线
的方程为
,可求
,或
(舍去),可求
,此时
,又由(1)可知当
时,
,综上即可求解.
(1)过作直线
于
,则
,设
,
则,(
),
故,
,
,
又,
由,得
,
故,当且仅当
,
时取等号.
此时,有最小值为
.
即两出入口之间距离的最小值为.
(2)由题意可知直线是以
为圆心,10为半径的圆
的切线,
根据题意,直线与圆
要相离,其临界位置为直线
与圆
相切,设切点为
此时直线为圆
与圆
的公切线.
因为,出入口在古建筑群和市中心
之间,
如图,以为坐标原点,以
所在的直线为
轴,
建立平面直角坐标系
由,
,
因为圆的方程为
,圆
的方程为
,
设直线的方程为
,
则所以,两式相除,得
,
所以或
,
所以此时或
(舍去),此时
,
又由(1)知当时,
,
综上,.
即设计出入口离市中心
的距离在
到
之间时,才能使高架道路及其延伸段不经过保护区.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了调查某大学学生的某天上网的时间,随机对名男生和
名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果:
表1:男生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
表2:女生上网时间与频数分布表
上网时间(分钟) | |||||
人数 |
(1)用分层抽样在选取
人,再随机抽取
人,求抽取的
人都是女生的概率;
(2)完成下面的列联表,并回答能否有
的把握认为“大学生上网时间与性别有关”?
上网时间少于 | 上网时间不少于 | 合计 | |
男生 | |||
女生 | |||
合计 |
附: