Question

15．如图，己知E、F、G、H分别是三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD、DA的中点．
①求证：E、F、G、H四点共面
②若四边形EFGH是矩形，求证，AC⊥BD．

Answer 1

分析 ①利用三角形中位线定理可知EH∥BD、GF∥BD，进而四边形EFGH为平行四边形，即得结论；
②通过线面垂直的判定定理及性质定理即得结论．

解答 证明：①依题意，EH为△ABD的中位线，
∴EH∥BD，
同理GF∥BD，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∴E、F、G、H四点共面；
②由①可知，EH∥BD、GF∥BD，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥AD、GF⊥CD，
∴BD⊥AD、BD⊥CD，
∴BD⊥平面ACD，
∴AC⊥BD．

点评 本题考查空间中线线之间的位置关系，注意解题方法的积累，属于基础题．