Question

4．如图所示：矩形ABCD与正方形ADEF所在的平面互相垂直，AB=2AD=4，点P为AB的中点．
（1）求证：BE∥平面PDF．
（2）求点B到平面PDF的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AE，与DF交于O，连接OP，证明OP∥BE，即可证明BE∥平面PDF．
（2）利用等体积法，即可求点B到平面PDF的距离．

解答 （1）证明：连接AE，与DF交于O，连接OP，则O是AE的中点，
∵点P为AB的中点，
∴OP∥BE，
∵BE?平面PDF，OP?平面PDF，
∴BE∥平面PDF
（2）解：设点B到平面PDF的距离为h，则
△PDF中，PF=DF=PD=2$\sqrt{2}$，S_△PDF=2$\sqrt{3}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2=\frac{1}{3}×2\sqrt{3}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定，考查点B到平面PDF的距离，正确运用线面平行的判定定理是关键．