题目内容

5.已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F2(1,0),O为坐标原点,点M($\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)为椭圆C上的点.
(1)求C的方程:
(2)平面上的点N满足$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$,直线1平行于MN且与椭圆C交于A、B两点,若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,求直线l的方程.

分析 (1)利用椭圆C的半焦距c=1,点M($\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)为椭圆C上的点,可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C的方程;
(2)先利用$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$,以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同,设出直线l的方程,把直线方程与椭圆方程联立得到关于A,B两点坐标的等式,整理代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,即可求出直线l的方程.

解答 解:(1)由题意,椭圆C的半焦距c=1,点M($\frac{2}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$)为椭圆C上的点,
于是$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{9{a}^{2}}+\frac{8}{3{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+1}\end{array}\right.$
消去b2并整理得9a4-37a2+4=0,解得a=2(a=$\frac{1}{3}$不合题意,舍去).
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(Ⅱ)由$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{M{F}_{1}}$+$\overrightarrow{M{F}_{2}}$知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,
因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同,
故l的斜率k=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{\frac{2}{3}}$=$\sqrt{6}$.设l的方程为y=$\sqrt{6}$(x-m).
与椭圆方程联立,消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=$\frac{16m}{9}$,x1x2=,$\frac{8{m}^{2}-4}{9}$.
因为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0,所以x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2=x1x2+6(x1-m)(x2-m)=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
=7•$\frac{16m}{9}$-6m•$\frac{16m}{9}$+6m2
=$\frac{1}{9}(14{m}^{2}-28)$=0.
所以m=$±\sqrt{2}$.此时△=(16m)2-4×9(8m2-4)>0,
故所求直线l的方程为y=$\sqrt{6}$x$±2\sqrt{3}$.

点评 本题是对直线与椭圆位置关系的综合考查.直线与圆锥曲线的位置关系,由于集中交汇了直线,圆锥曲线两章的知识内容,综合性强,能力要求高,还涉及到函数,方程,不等式,平面几何等许多知识,可以有效的考查函数与方程的思想,数形结合的思想,分类讨论的思想和转化化归的思想,因此,这一部分内容也成了高考的热点和重点.

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