Question

14．已知函数f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，若f（x）=2，求2^x的值．

Answer 1

分析 根据条件讨论x的范围，结合指数方程和一元二次方程，解方程即可．

解答 解：∵f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$，
∴若f（x）=2得2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$=2，
若x=0，则方程等价为1-1=2，则方程不成立，故x≠0，
若x＞0，则方程等价为2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，
即（2^x）²-2•2^x-1=0，
则2^x=$\frac{2+\sqrt{4+4}}{2}$=$\frac{2+2\sqrt{2}}{2}$=1+$\sqrt{2}$，或2^x=$\frac{2-\sqrt{4+4}}{2}$=1-$\sqrt{2}$（舍），
若x＜0，则方程等价为2^x-$\frac{1}{{2}^{-x}}$=2，即2^x-2^x=2，
即0=2，此时方程无解，
综上2^x=1+$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查指数方程的求解，利用指数函数的性质，转化为一元二次方程是解决本题的关键．