Question

15．已知锐角α满足$cos2α=sin（\frac{π}{4}+α）$，则sin2α等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 先根据二倍角公式以及和差角公式对已知条件两边整理得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再两边平方即可得到结论．

解答 解：∵cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）；①
sin（$\frac{π}{4}+α$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα）；②
∵锐角α满足cos2α=sin（$\frac{π}{4}$-α），③
∴由①②③得，cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
两边平方整理得：1-sin2α=$\frac{1}{2}$，则sin2α=$\frac{1}{2}$．
故悬案：A．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值．解决这类题目的关键在于对公式的熟练掌握及其应用，是基础题．