Question

9．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$（n∈N⁺），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：T_n$＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n，利用递推关系化为（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，可得a_n+1-a_n=1．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1$＜\frac{5}{3}$．当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可证明．

解答 （1）解：∵a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n，∴当n=1时，${a}_{1}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，又a₁＞0，解得a₁=1．
又${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}=2{S}_{n+1}$，∴${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}$-（a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$）=2a_n+1，
化为（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵?∈N^*，a_n＞0，可得a_n+1-a_n=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，a_n=1+（n-1）=n．
（2）证明：n=1时，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1$＜\frac{5}{3}$．当n≥2时，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+2$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=1+2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{2n+1}$．
∴T_n$＜\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、“放缩法”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．