Question

1．若函数f（x）=（x²-cx+5）e^x在区间[$\frac{1}{2}$，4]上单调递增，则实数c的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2]
• B． （-∞，4]
• C． （-∞，8]
• D． [-2，4]

Answer 1

分析 若函数f（x）=（x²-cx+5）e^x在区间[$\frac{1}{2}$，4]上单调递增，则f′（x）=[x²+（2-c）x+（5-c）]e^x≥0在区间[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，即c≤$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$在区间[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．

解答 解：若函数f（x）=（x²-cx+5）e^x在区间[$\frac{1}{2}$，4]上单调递增，
则f′（x）=[x²+（2-c）x+（5-c）]e^x≥0在区间[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
即x²+（2-c）x+（5-c）≥0在区间[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
即c≤$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$在区间[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+5}{x+1}$，则g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{（x+1）^{2}}$，
令g′（x）=0，则x=1，或-3，
当x∈[$\frac{1}{2}$，1）时，g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈（1，4]时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
故当x=1时，g（x）取最小值4，
故c∈（-∞，4]，
故选：B

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，恒成立问题，难度中档．