Question

17．若函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^x}，x≤0\\{x^3}-3x+a，x＞0\end{array}\right.$的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是（　　）

• A． 3≥a≥2
• B． 3≥a＞2
• C． a≤2
• D． a＜2

Answer 1

分析 根据函数f（x）的解析式，求出x≤0时，f（x）的值域，
再讨论x＞0时，f（x）的值域，利用导数求出f（x）的最小值，
由此求出a的取值范围．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}1-{2^x}，x≤0\\{x^3}-3x+a，x＞0\end{array}\right.$的值域为[0，+∞），
∴当x≤0时，0＜2^x≤1，∴1＞1-2^x≥0，
即0≤f（x）＜1；
当x＞0时，由f（x）=x³-3x+a，
∴f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
∴x=1时，f（x）取得最小值f（x）_min=f（1）=1-3+a=a-2；
令0≤a-2≤1，
解得2≤a≤3．
故选：A．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了求函数的最值与值域的应用问题，是综合题．