Question

7．已知点P（x，y）在椭圆C：2x²+y²=4上，则2x+y的取值范围是$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$，椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 化椭圆方程为标准方程，由动点P（x，y）在椭圆2x²+y²=4上，可设x=2cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π]．代入2x+y后化积得答案；利用两点间的距离公式表示出距离|PM|，利用二次函数的性质及余弦函数的值域，即可确定出距离|PM|的最值．

解答 解：由2x²+y²=4，得$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
∵动点P（x，y）在椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$上，
∴可设x=$\sqrt{2}$cosθ，y=2sinθ，θ∈[0，2π]．
∴2x+y=2$\sqrt{2}$cosθ+2sinθ=2$\sqrt{3}$sin（θ+φ）（tanφ=$\sqrt{2}$）．
∴2x+y∈$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$；
$|PM{|}^{2}=（\sqrt{2}cosθ-1）^{2}+（2sinθ）^{2}$=$2co{s}^{2}θ+4si{n}^{2}θ-2\sqrt{2}cosθ+1$
=$3+2（1-co{s}^{2}α）-2\sqrt{2}cosθ$=$-2co{s}^{2}θ-2\sqrt{2}cosθ+5$．
当cosθ=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，（|PM|²）_max=6，
∴椭圆C上的点到M（1，0）的距离的最大值为$\sqrt{6}$．
故答案为：$[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]，\sqrt{6}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程、两角和差的正弦公式及其单调性，属于中档题．