Question

10．已知函数f（x）=ax²+4x-2b+1（a∈R，b∈R）．
（1）函数f（x）在x=1处取得最大值为5，求f（x）的解析式；
（2）若b=2，求函数f（x）在区间[-1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）在x=1处取得最大值为5，则 $-\frac{4}{2a}$=1，$\frac{4a（-2b+1）-16}{4a}$=5，解得a，b值，可得f（x）的解析式；
（2）若b=2，结合二次函数和一次函数的图象和性质，分析函数f（x）在区间[-1，2]上的最小值，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）在x=1处取得最大值为5，
∴$-\frac{4}{2a}$=1，$\frac{4a（-2b+1）-16}{4a}$=5，
解得：a=-2，b=-1，
∴f（x）=-2x²+4x+3；
（2）若b=2，则f（x）=ax²+4x-3，
当a＜0时，f（x）=ax²+4x-3的图象是开口朝下，且以直线x=-$\frac{2}{a}$为对称轴的抛物线，
当0＜-$\frac{2}{a}$≤$\frac{1}{2}$，即-4≤a＜0时，当x=2时，函数取最小值4a+5；
当-$\frac{2}{a}$＞$\frac{1}{2}$，即a＜-4时，当x=-1时，函数取最小值a-7；
当a=0时，f（x）=4x-3，当x=-1时，函数取最小值-7；
当a＞0时，f（x）=ax²+4x-3的图象是开口朝上，且以直线x=-$\frac{2}{a}$为对称轴的抛物线，
当-1＜-$\frac{2}{a}$＜0，即a＞2时，当x=-$\frac{2}{a}$时，函数取最小值-3-$\frac{4}{a}$；
当-$\frac{2}{a}$≤-1，即0＜a≤2时，当x=-1时，函数取最小值a-7；
综上所述：函数f（x）在区间[-1，2]上的最小值为$\left\{\begin{array}{l}a-7，a＜-4\\ 4a+5，-4≤a＜0\\ a-7，0≤a≤2\\-3-\frac{2}{a}，a＞2\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．