Question

7．解不等式：
（1）0$＜x-\frac{1}{x}$＜1；
（2）$\frac{a（x-1）}{x-2}$＞1；
（3）$\frac{x（x-3）}{9-{x}^{2}}$≤0．

Answer 1

分析 （1）把0$＜x-\frac{1}{x}$＜1等价转化为 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}-1}{x}＞0}\\{\frac{{x}^{2}-1}{x}＜1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1或-1＜x＜0}\\{\frac{{x}^{2}-x-1}{x}＜0}\end{array}\right.$，从而求得它的解集．
（2）要求的不等式即 $\frac{（a-1）x-（a-2）}{x-2}$＞0，分类讨论求得它的解集．
（3）$\frac{x（x-3）}{9-{x}^{2}}$≤0，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≠3}\\{\frac{x}{x+3}≥0}\end{array}\right.$，分类讨论求得它的解集．

解答 解：（1）0$＜x-\frac{1}{x}$＜1，即 0＜$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＜1，即 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}-1}{x}＞0}\\{\frac{{x}^{2}-1}{x}＜1}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1或-1＜x＜0}\\{\frac{{x}^{2}-x-1}{x}＜0}\end{array}\right.$，
求得 不等式的解集为{x|-1＜x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，或 1＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}．
（2）$\frac{a（x-1）}{x-2}$＞1，即 $\frac{（a-1）x-（a-2）}{x-2}$＞0．
当a=1时，不等式即 $\frac{1}{x-2}$＞0，求得不等式的解集为{x|x＞2}．
当a＞1时，不等式即 $\frac{x-\frac{a-2}{a-1}}{x-2}$＞0，求得不等式的解集为{x|x＞2，或 x＜$\frac{a-2}{a-1}$}．
当a＜1时，不等式即 $\frac{x-\frac{a-2}{a-1}}{x-2}$＜0，求得不等式的解集为{x|$\frac{a-2}{a-1}$＜x＜2}．
（3）$\frac{x（x-3）}{9-{x}^{2}}$≤0，即 $\left\{\begin{array}{l}{x≠3}\\{\frac{x}{x+3}≥0}\end{array}\right.$，求得{x|x＜-3，或 x≥0 且x≠3}．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．