Question

2．函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对一切x＞0，y＞0都有f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），当x＞1时，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的单调性并证明；
（3）若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

Answer 1

分析 （1）在恒等式中，令x=y，即可求得f（1）的值；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，利用恒等式得到f（x₂）-f（x₁），根据题中条件，判断f（x₂）-f（x₁）的正负，利用函数单调性的定义，即可证明函数的单调性；
（3）根据（2）的结论，将值域问题转化为求最值，根据f（4）=2，结合f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），赋值x=16，y=4，代入即可求得f（16），从而求得f（x）在[1，16]上的值域

解答 解：（1）∵当x＞0，y＞0时，f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
∴令x=y＞0，则f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是递增函数．
证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵x₂＞x₁＞0，∴$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵当x＞1时，有f（x）＞0，∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由（2）可知，f（x）在[1，16]上是增函数，
∴f （x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（16），
∵f（4）=2，且f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y），
∴f（$\frac{16}{4}$）=f（16）-f（4），
∵f（4）=2，
∴f（16）=2f（4）=4，
∴f （x）_min=0，f（x）_max=4，
∴f（x）在[1，16]上的值域为[0，4]．

点评 本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，同时考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．