Question

【题目】如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE；
（2）求证：AM⊥平面BDF；
（3）求A点到面BDF的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设底面对角线的交点为O，连接EO．

∵M为EF的中点，四边形ACEF为矩形

∴EM∥AO且EM=AO

∴AM∥OE

又因为OE平面BDE 且AM平面BDE

∴AE∥平面BDE．

（2）证明：设AC与BD交于O点，连OF，OM

在矩形ACEF中四边形， ，AF=1

所以，AOMF为正方形，故AM⊥OF

又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，且交线为AC

在正方形ABCD中，故AC⊥BD

由面面垂直的性质定理，BD⊥面ACEF

又AM面ACEF

所以BD⊥AM

又BD∩OF=O，故AM⊥平面BDF

（3）解：VA﹣BDF=VF﹣ABD，设A到面BDF的距离为h，∴

∴

【解析】（1）证明四边形AMEN是平行四边形，可得AM∥OE，OE在平面BDE面内，AM在平面BDE面外，满足线面平行的判定定理所需条件，从而证得结论；（2）证明AC⊥BD，BD⊥AM，又BD∩OF=O，即可证明AM⊥平面BDF；（3）利用VA﹣BDF=VF﹣ABD ， 求出A到面BDF的距离．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想即可以解答此题．