Question

8．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+t与圆x²+（y+1）²=1相切，且与抛物线交于不同的两点M，N，若△MON的面积为4，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py，把点（2，1）代入运算求得p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ） 由直线与圆相切可得$\frac{|t+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得到k²=t²+2t，把直线方程代入抛物线方程并整理，由△＞0求得t的范围．利用弦长公式求得|MN|，由点到直线距离公式求得点O到直线的距离，结合△MON的面积为4求得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ） 设抛物线方程为x²=2py（p＞0），
由已知得：2²=2p，即p=2，
∴抛物线的标准方程为 x²=4y；
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+t与圆x²+（y+1）²=1相切，
∴$\frac{|t+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，得到k²=t²+2t，
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x²-4kx-4t=0．
由△=16k²+16t=16（t²+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜-3．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k且x₁•x₂=-4t，
|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{16{k}^{2}+16t}=4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+3t}$．
原点O到直线l：y=kx+t的距离为d=$\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
则${S}_{△OMN}=\frac{1}{2}•4\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{{t}^{2}+3t}•\frac{|t|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$2\sqrt{{t}^{2}+3t}•|t|=4$，
解得：t=1，代入k²=t²+2t，得k=$±\sqrt{3}$，
∴直线l的方程为：$y=±\sqrt{3}x+1$．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查直线与圆的位置关系，训练了弦长公式的应用，是中档题．