题目内容
如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，BC=2，AC=2
，AB=2
，AA1=A1C=
．
（Ⅰ）设AC的中点为D，证明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求异面直线A1C与AB成角的余弦值．
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（Ⅰ）设AC的中点为D，证明A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）求异面直线A1C与AB成角的余弦值．
（Ⅰ）证明：∵AC=2
，AA1=A1C=
，∴AC2=AA12+A1C2，
∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
，AB=2
，AC2=AB2+BC2，
∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE=
=
=
，EC=
=
=
，
∴DE=CD-EC=
-
=
，
以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，-
，0），A1（0，0，
），B（
，
，0），C（0，
，0），
=（0，
，-
），
=（
，
，0），
所以cos＜
，
＞=
=
，
故所求余弦值为
．
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∴△AA1C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A1D⊥AC，
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，∴A1D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2
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∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE=
| AB•BC |
| AC |
2•2
| ||
2
|
2
| ||
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| BC2-BE2 |
4-
|
2
| ||
| 3 |
∴DE=CD-EC=
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2
| ||
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以D为原点，A1D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（0，-
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2
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| 3 |
| ||
| 3 |
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| A1C |
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| AB |
2
| ||
| 3 |
4
| ||
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所以cos＜
| A1C |
| AB |
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故所求余弦值为
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