Question

如图，边长为2的正方形A₁ACC₁绕直线CC₁旋转90°得到正方形B₁BCC₁，D为CC₁的中点，E为A₁B的中点，G为△ADB的重心．
（1）求直线EG与直线BD所成的角；
（2）求直线A₁B与平面ADB所成的角的正弦值．

Answer 1

由题设CC₁⊥AC，CC₁⊥BC，AC⊥BC
所以，以C为坐标原点，CA，CB，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），
所以D（0，0，1），E（1，1，1），G(

2

3

，

2

3

，

1

3

)．（2分）
（1）

EG

=(-

1

3

，-

1

3

，-

2

3

)，

BD

=(0，-2，1)（4分）
所以

EG

•

BD

=

2

3

-

2

3

=0，
∴

EG

⊥

BD

所以，直线EG与直线BD所成的角为

π

2

．（5分）
（2）

A1B

=(-2，2，-2)（6分）

AB

=(-2，2，0)，

AD

=(-2，0，1)
设

n

=(x0，y0，z0)为平面ABD的一个法向量
则

n • AB =-2x0+2y0=0 n • AD =-2x0+y0=0

，
∴

y0=x0 z0=2x0

取

n

=(1，1，2)．（8分）
设A₁B与平面ADB所成的角为θ
则sinθ=|cos?

A1B，

n

＞|=

4

2 3 • 6

=

2

3

．
即：A₁B与平面ADB所成的角为正弦值为

2

3

．（10分）