Question

7．已知方程mx+ny-m-2n=0对任意不同时为0的m，n恒成立，则$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}$的最大值为1．

Answer 1

分析 已知直线变形为m（x-1）+y（x-2）=0，得到其恒过定点（1，2），再得到点（1，1）到直线m（x-1）+y（x-2）=0的距离d的最大值是1，从而得到答案．

解答 解：由mx+ny-m-2n=0得：m（x-1）+n（y-2）=0，
∴直线恒过定点（1，2），
而点（1，1）到直线m（x-1）+y（x-2）=0的距离d的最大值是：
d=$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了点到直线的距离，考查转化思想，凑出点（1，1）到直线m（x-1）+y（x-2）=0的距离d的最大值是：d=$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}{+n}^{2}}}$=1是解题的关键．