Question

17．函数y=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{1}{x-1}$+1）（x＞1）的最大值是（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -3
• D． 3

Answer 1

分析 根据基本不等式得出x-1+$\frac{1}{x-1}$≥2，再根据对数函数的图象与性质求出函数y的最大值．

解答 解：∵x＞1时，x-1+$\frac{1}{x-1}$≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$=2，
当且仅当x=2时“=”成立；
∴函数y=${log}_{\frac{1}{2}}$（x+$\frac{1}{x-1}$+1）
=${log}_{\frac{1}{2}}$[（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2]≤${log}_{\frac{1}{2}}$[2+2]=-2，
∴函数y的最大值是-2．
故选：A．

点评 本题考查了对数函数的图象与性质的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是基础题目．