题目内容
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,
是矩形,
,
,
,
,
为
的中点.
(1)平面平面
(2)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长度;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由四边形为矩形,所以
,再由勾股定理,得到
,利用线面垂直的判定定理,证得
平面
,进而得到平面
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,求得平面
的法向量为
,又由平面
的法向量
,利用向量的夹角公式,即可求解,得到结论.
(1)证明:由题意知,四边形为矩形,所以
,
又∵四边形为菱形,
为
中点,
所以,
,
,所以
,所以
,
又,所以
平面
,又
平面
,
所以平面平面
(2)假设线段上存在点
,使二面角
的大小为
,在
上取一点
,
连接,
.
由于四边形是菱形,且
,
是
的中点,可得
.
又四边形是矩形,平面
平面
,∴
平面
,
所以建立如图所示的空间直角坐标系
则,
,
,
,
则,
,设平面
的法向量为
,
则,∴
,令
,则
,
又平面的法向量
,
所以,解得
,
所以在线段上存在点
,使二面角
的大小为
,此时
.

【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从该设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:
直径/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合计 |
件数 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
经计算,样本的平均值,标准差
,以频率值作为概率的估计值.
(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(
表示相应事件的频率):
①;②
;③
,评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断
设备的性能等级.
(2)将直径小于等于的零件或直径大于等于
的零件认定为是“次品”,将直径小于等于
的零件或直径大于等于
的零件认定为是“突变品”,从样本的“次品”中随意抽取2件零件,求“突变品”个数
的数学期望.