题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，定义
为两点
，
的“切比雪夫距离”，又设点
及
上任意一点
，称
的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作
，给出下列三个命题：
①对任意三点
、
、
，都有
；
②已知点
和直线：
，则
；
③到定点
的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
其中正确的命题有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
【答案】C
【解析】
①讨论
，
，
三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；
②设点
是直线
上一点，且
，可得
，
，讨论
，
的大小，可得距离
，再由函数的性质，可得最小值；
③设定点
，且相等距离为1，从而可判断出命题的真假.
① 对任意三点、、，若它们共线，设
，
、
，
，
，
，如图，结合三角形的相似可得
，
，
为
，
，
，或
，
，
，则
；
若，或，对调，可得；
若，，不共线，且三角形中为锐角或钝角，如图，
由矩形
或矩形
，
；
则对任意的三点，，，都有，故①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由
，解得
，即有
，
当
时，取得最小值
；
由
，解得
或
，即有
，
的范围是
，无最值；
综上可得，
，两点的“切比雪夫距离”的最小值为；故②正确；
③假设定点，到定点
的距离和到的“切比雪夫距离”相等且距离为1的点为
，则到定点的距离为1的点的轨迹为单位圆；到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以
，即
或
显然点的轨迹为正方形，所以只有四个点
符合要求，故③错误；
故选：C
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