题目内容
【题目】设
，函数
.
（1）若
，
极大值；
（2）若
无零点，求实数
的取值范围；
（3）若有两个相异零点
，
，求证：
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）证明见解析.
【解析】分析：（1）
，根据导数的符号可知
的极大值为
；
（2）
，就
分类讨论即可；
（3）根据
可以得到
，因此原不等式的证明可化为
，可用导数证明该不等式.
详解:（1）当
时，，
当
时，
，当
时，
，
故的极大值为
.
（2），
①若
时，则
，
是区间
上的增函数，
∵
，
，
∴
，函数在区间有唯一零点；
②若
，
有唯一零点
；
③若
，令
，得
，
在区间
上，，函数是增函数；
在区间
上，
，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为
，
由于无零点，须使
，解得
，
故所求实数
的取值范围是．
（3）由已知得
，
所以
，
故
等价于
即
．
不妨设
，令
，
，
则
，
在
上为单调增函数，
所以
即
，也就是，故原不等式成立．
【题目】为了对2016年某校中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽出8位，他们的数学分数（已折算为百分制）从小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分数从小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95． 参考公式：相关系数 
，
回归直线方程是： 
，其中 
，
参考数据： 
， 
， 
， 
．
（1）若规定85分以上为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为优秀的概率；
（2）若这8位同学的数学、物理、化学分数事实上对应如下表：
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 | 95 |
物理分数y | 72 | 77 | 80 | 84 | 88 | 90 | 93 | 95 |
化学分数z | 67 | 72 | 76 | 80 | 84 | 87 | 90 | 92 |
①用变量y与x、z与x的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；
②求y与x、z与x的线性回归方程（系数精确到0.01），当某同学的数学成绩为50分时，估计其物理、化学两科的得分．
【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销售量
（单位：吨）和年利润
（单位：万元）的影响。对近六年的年宣传费
和年销售量
的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
即
。对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）规定当产品的年销售量（吨）与年宣传费（万元）的比值在区间
内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年，记其中选到效益良好年的数量为
，试求随机变量的分布列和期望。（其中
为自然对数的底数， 
）
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
