Question

【题目】已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足 =0， =2 ．
（1）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；
（2）若斜率为k的直线 l与圆x2+y2=1相切，直线 l与（1）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且 ≤ ≤ 时，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，

∴ ，

∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为 的椭圆， ，

故点Q的轨迹方程是 ．

（2）解：设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）

直线l与圆x2+y2=1相切

联立 ，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，

△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，

∴ ，

= = = ，

∴

为所求

【解析】（1）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（2）设直线l：y=kx+b，F（x1 ， y1），H（x2 ， y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其 ≤ ≤ ，解出即可得出．