题目内容
【题目】已知函数.
(1)若曲线在
处的切线的斜率为2,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
上有零点,求实数
的取值范围.(
是自然对数的底数,
)
【答案】(1)函数的单调增区间为
,单调减区间为
(2)
【解析】
(1)求导,由导数的结合意义可求得,进而得到函数解析式,再解关于导函数的不等式即可得到单调区间;
(2)对进行分类讨论,利用导数,结合零点的存在性定理建立不等式即可求解.
(1)函数的定义域为
,
,
则,所以
,
此时,定义域为
,
,
令,解得
;令
,解得
;
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)函数在区间
上的图象是一条不间断的曲线.
由(1)知,
1)当时,对任意
,
,
,则
,所以函数
在区间
上单调递增,此时对任意
,都有
成立,从而函数
在区间
上无零点;
2)当时,令
,得
或
,其中
,
①若,即
,则对任意
,
,所以函数
在区间
上单调递减,由题意得
,且
,解得
,其中
,即
,
所以的取值范围是
;
②若,即
,则对任意
,
,所以函数
在区间
上单调递增,此时对任意
,都有
成立,从而函数
在区间
上无零点;
③若,即
,则对任意
,
;所以函数
在区间
上单调递增,对任意
,都有
成立;
对任意,
,函数
在区间
上单调递减,由题意得
,解得
,
其中,即
,
所以的取值范围是
.
综上可得,实数的取值范围是
.
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