题目内容
【题目】已知抛物线:
,过焦点
的直线
与抛物线
相交于
,
两点,且当直线
倾斜角为
时,与抛物线相交所得弦的长度为8.
(1)求抛物线的方程;
(2)若分别过点,
两点作抛物线
的切线
,
,两条切线相交于点
,点
关于直线
的对称点
,判断四边形
是否存在外接圆,如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;最小面积为
【解析】
(1)根据题意求出直线倾斜角为
时的方程,与抛物线方程联立,利用根与系数关系和焦半径公式,求出弦长,即可求出
;
(2)点关于直线
的对称点为
,可得
,从而有
,判断四边形
是否存在外接圆,只需判断是否有
,即
是否垂直,根据切线的几何意义,求出
的斜率,即可得出结论,如果存在外接圆,外接圆的直径为
,要使外接圆面积最小,即求
最小,利用根与系数关系和相交弦长公式,即可求解.
(1)由题意知,设点
,
,
当直线倾斜角为
时,直线
的方程为
,
由得:
,
所以.又由
,所以
,
所以抛物线的方程为.
(2)四边形存在外接圆.
设直线方程为
,
代入中,得
,则
,
且,
,
所以,
因为:
,即
,所以
.
因此,切线的斜率为
,切线
的斜率为
,
由于,所以
,即
是直角三角形,
所以的外接圆的圆心为线段
的中点,线段
是圆的直径,
所以点一定在
的外接圆上,即四边形
存在外接圆.
又因为,所以当
时,线段
最短,最短长度为4,
此时圆的面积最小,最小面积为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取名工人,将他们随机分成两组,每组
人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
)绘制了如图所示的茎叶图(茎为十位数,叶为个位数):
(1)根据茎叶图,估计两种生产方式完成任务所需时间至少分钟的概率,并对比两种生产方式所求概率,判断哪种生产方式的效率更高?
(2)将完成生产任务所需时间超过和不超过
的工人数填入下面的列联表:
超过 | 不超过 | |
第一种生产方式 | ||
第二种生产方式 |
(3)根据(2)中的列联表,能否有的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附: