题目内容
【题目】在数列{an}中,a1= ,且
=nan(n∈N+).
(1)写出此数列的前4项;
(2)归纳猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法加以证明.
【答案】
(1)解:a1= ,a2=
,a3=
,a4=
(2)解:猜想:an= .
证明:①当n=1时,猜想显然成立.
②假设n=k时猜想成立,即ak= .
∵ =nan,∴
=(2n﹣1)an.
∴ ,
∴a1+a2+…+ak=(2k2+3k)ak+1,
又a1+a2+…+ak=(2k2﹣k)ak= ,
∴ak+1= =
,
∴当n=k+1时,猜想成立.
由①②可知,对一切n∈N+,都有an=
【解析】(1)根据递推式,依次令n=2,3,4计算a2 , a3 , a4;(2)根据前4相猜想通项公式,验证n=1时猜想成立,假设n=k时猜想成立,根据条件推导ak+1得出结论.
【考点精析】关于本题考查的归纳推理和数学归纳法的定义,需要了解根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理;数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法才能得出正确答案.
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