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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴,取相同的长度单位建立极坐标系,直线的极坐标方程为.

(Ⅰ)当时,求曲线上的点到直线的距离的最大值

(Ⅱ)若曲线上的所有点都在直线的下方,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】试题分析:(1)将直线的极坐标方程化为普通方程,进而由圆的参数方程得曲线上的点到直线的距离, ,利用三角函数求最值即可;

(2)曲线上的所有点均在直线的下方,即为对,有恒成立,即(其中)恒成立,进而得.

试题解析:

(1)直线的直角坐标方程为.

曲线上的点到直线的距离,

时,

即曲线上的点到直线的距离的最大值为.

(2)∵曲线上的所有点均在直线的下方,

∴对,有恒成立,

(其中)恒成立,

.

,∴解得

∴实数的取值范围为.

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