Question

【题目】设函数(a，bR)的导函数为,已知，是的两个不同的零点．

（1）证明：；

（2）当b＝0时，若对任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范围；

（3）求关于x的方程的实根的个数．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）1个.

【解析】

（1）求函数的导数，利用△＝4a2﹣12b＞0，得证；

（2）分离参数a，所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，令新函数设g（x）＝﹣x求最值即可，或采用x3+ax2﹣xlnx≥0时求左侧最值亦可．

（3）转化函数求零点个数可得结论．

（1）函数f（x）＝x3+ax2+bx（a，b∈R）的导函数为f′（x）＝3x2+2ax+b．

已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，设x1＜x2，

所以△＝4a2﹣12b＞0，所以：a2＞3b得证；

（2）当b＝0时，对任意x＞0，f（x）≥xlnx恒成立，

所以x3+ax2≥xlnx，即x3+ax2﹣xlnx≥0，x2+ax﹣lnx≥0对任意x＞0恒成立，

所以a≥﹣x对任意x＞0恒成立，

设g（x）＝﹣x，则 ，

令h（x）＝1﹣1nx﹣x2，则h（x）＝﹣﹣2x＜0，

所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，注意到h（1）＝0，

当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g（x）＞0，所以g（x）在（0，1）上单调递增，

当x∈（1，+∞）时，H（x）＜0，g（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以，当x＝1时，g（x）有最大值g（1）＝﹣1，

所以a的取值范围为[﹣1，+∞）；

（3）由题意设F（x）＝f（x）﹣f（x1）﹣，

则原问题转化为求函数F（x）的零点的个数，

因为导函数为f（x）＝3x2+2ax+b，已知x1，x2是f'（x）的两个不同的零点，

所以：，所以：

，

所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，注意到F（x1）＝0，所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零点x1，

∴关于x的方程有1个实根，