题目内容
【题目】已知椭圆,
是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心
,点
在第一象限,且
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设、
为椭圆上不重合的两点且异于
、
,若
的平分线总是垂直于
轴,问是否存在实数
,使得
?若不存在,请说明理由;若存在,求
取得最大值时的
的长.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)根据所给向量间的关系求出点的坐标,又由
得出半长轴
,再将点
的坐标代入椭圆方程解出
,则可得椭圆方程;(2)由题意可得
,设
,则
,将
的直线方程与椭圆联立解得
的坐标,进而得到
的坐标,从而由斜率公式求得
,证得
,可得存在实数
符合题意,先利用基本不等式求得
,再求出
的最大值.
(1)∵,∴
,
∵.即
,
∴是等腰直角三角形,
∵,∴
,
而点在椭圆上,∴
,
,∴
,
∴所求椭圆方程为.
(2)对于椭圆上两点,
,
∵的平分线总是垂直于
轴,
∴与
所在直线关于
对称,
,则
,
∵,∴
的直线方程为
,①
的直线方程为
,②
将①代入,得
,③
∵在椭圆上,∴
是方程③的一个根,
∴,
以替换
,得到
.
∴,
∵,
,
,弦
过椭圆的中心
,
∴,
,∴
,
∴,∴
,
∴存在实数,使得
,
,
当时,即
时取等号,
,
又,
,
∴取得最大值时的
的长为
.
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练习册系列答案
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非体育迷 | 体育迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合计 |
附表及公式:,
.
0.10 | 0.05 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |