Question

【题目】已知 ,函数 f(x)=x2(x-a) ,若f'(1)=1 .
（1）求 a 的值并求曲线 y=f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程y=g(x) ；
（2）设h(x)=f'(x)+g(x) ,求 h(x) 在 [0,1] 上的最大值与最小值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：f'(x)=3x2-2ax ,由 f'(1)=1 得 3-2a=1 ,所以 a=1 ;

当 a=1 时,f(x)=x3-x2,f(1)=0 ,又 f'(1)=1 ,

所以曲线y=f(x) 在(1,f(1)) 处的切线方程为 y-0=x-1 ,即g(x)=x-1 ;

（2）

【解答】

解：由(1)得 ,

又h(0)=-1,h(1)=1, ,

∴ h(x) 在 [0,1] 上有最大值1,有最小值 .

【解析】本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究曲线上某点切线方程，解决问题的关键是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．