Question

20．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b=1，B=$\frac{π}{3}$，
（1）若a+c=2，解此三角形；   
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意和正弦定理求出a和c，代入已知条件后利用内角和定理、两角和与差的正弦公式化简，由角A的范围求出角A，再求出角C，即可求出a、b、c；
（2）根据题意和余弦定理列出方程，再利用基本不等式求出ac的范围，代入三角形的面积公式即可求出它的最大值．

解答 解：（1）∵b=1，B=$\frac{π}{3}$，∴由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，
则$c=\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinC$，同理可得$a=\frac{2}{\sqrt{3}}sinA$，
∵a+c=2，∴$\frac{2}{\sqrt{3}}sinA+\frac{2}{\sqrt{3}}sinC$=2，
∵C=π-A-B=$\frac{2π}{3}-A$，∴$sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\sqrt{3}$，
则$sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA=\sqrt{3}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}sinA+\frac{1}{2}cosA=1$，
∴$sin（A+\frac{π}{6}）$=1，由0＜A＜π得，A+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，则A=$\frac{π}{3}$，
∴$C=\frac{π}{3}$，则△ABC是等边三角形，即a=b=c=1；
（2）∵b=1，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，
∴1=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤1，当且仅当时a=c等号成立，
则△ABC面积S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$≤$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴△ABC面积的最大值为$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．…（15分）

点评 本题考查正弦、余弦定理，基本不等式，以及两角和与差的正弦公式的应用，属于中档题．