Question

3．（1）已知sin（x+$\frac{7π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，求sin（$\frac{7π}{6}$+x）+cos²（$\frac{23π}{6}-x$）的值；
（2）已知cos（α+β）+1=0，求证：sin（2α+β）+sinβ=0．

Answer 1

分析 （1）sin（x+$\frac{7π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，可得$sin（x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{4}$．cos²（$\frac{23π}{6}-x$）=$co{s}^{2}（\frac{π}{6}+x）$=1-$si{n}^{2}（\frac{π}{6}+x）$，代入即可得出．
（2）由cos（α+β）+1=0，可得sin（α+β）=0．于是sin（2α+β）+sinβ=sin[（α+β）+α]+sin[（α+β）-α]，展开即可得出．

解答 （1）解：∵sin（x+$\frac{7π}{6}$）=-$\frac{1}{4}$，
∴$sin（x+\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{4}$．
∴sin（$\frac{7π}{6}$+x）+cos²（$\frac{23π}{6}-x$）
=-$\frac{1}{4}$+$co{s}^{2}（\frac{π}{6}+x）$
=-$\frac{1}{4}$+1-$si{n}^{2}（\frac{π}{6}+x）$
=$\frac{3}{4}-（-\frac{1}{4}）^{2}$
=$\frac{11}{16}$．
（2）证明：∵cos（α+β）+1=0，
∴sin（α+β）=0．
∴sin（2α+β）+sinβ=sin[（α+β）+α]+sin[（α+β）-α]
=2sin（α+β）cosα=0，
∴sin（2α+β）+sinβ=0．

点评 本题考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．