题目内容

15．不等式2+log0.5（5-x）+log2$\frac{1}{x}$＞0的解集是（　　）
A．（0，+∞）B．（-∞，5）C．（0，1）∪（4，5）D．空集

分析 先根据换底公式化为同底数的，再根据对数的运算性质化简，利用对数函数的单调性得到不等式组，解得即可．

解答 解：log2$\frac{1}{x}$=$\frac{lo{g}_{0.5}{x}^{-1}}{lo{g}_{0.5}0．{5}^{-1}}$=log0.5x，
∵2+log0.5（5-x）+log2$\frac{1}{x}$＞0，
∴log0.5（5-x）+log0.5x＞-2=log0.50.5-2，
∴log0.5（5-x）x＞log0.54
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-x＞0}\\{x＞0}\\{x（5-x）＜4}\end{array}\right.$，
解得0＜x＜1，或4＜x＜5，
故选：C．

点评 本题考查了对数的运算性质，以及对数函数的单调性，不等组的解法，属于中档题．

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