Question

11．求和：S_n=1×$\frac{1}{2}$$+3×\frac{1}{4}+5×\frac{1}{8}+$…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：∵S_n=1×$\frac{1}{2}$$+3×\frac{1}{4}+5×\frac{1}{8}+$…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+（2n-3）×$\frac{1}{{2}^{n}}$+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
错位相减得：$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴S_n=1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-（2n-1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1+$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）$\frac{1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．