题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若在
处取得极小值,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)当时,
,利用导数几何意义,求出函数在
处的切线斜率,再求出切线方程;(2)对函数
求导,令
,讨论
的单调性,对
分情况讨论,得出实数
的取值范围.
试题解析:(1)当时,
,
,
,所以曲线
在点
处的切线方程为
.
(2)由已知得,则
,
记,则
,
①当,
时,
,函数
单调递增,
所以当时,
,当
时,
,
所以在
处取得极小值,满足题意.
②当时,
时,
,函数
单调递增,
可得当时,
,
时,
当,
所以在
处取得极小值,满足题意.
③当时,当
时,
,函数
单调递增,
时,
,
在
内单调递减,
所以当时,
,
单调递减,不合题意.
④当时,即
,当
时,
,
单调递减,
,当
时,
,
单调递减,
,
所以在
处取得极大值,不合题意.
综上可知,实数的取值范围为
.
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